高等教学

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高等教学

高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。

简介

初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。常见的“高等数学”课本通常有这样一些内容：微积分，高等代数，概率论与数理统计。理工科（数学专业在外）的，深一些；文科的，浅一些。理工科的不同专业，文科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学。可高等数学并不只研究变量。

高等数学是高等学校工科本科有关专业学生的一门必修的重要基础课。通过这门课程的学习，使学生获得向量代数与空间解析几何、微积分的基本知识，必要的基础理论和常用的运算方法，并注意培养学生的运算能力和初步的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力，从而使学生获得解决实际问题能力的初步训练，为学习后继课程奠定必要的数学基础。

高等数学（也称为微积分）是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。然而,很多学生对怎样才能学好这门课程感到困惑。要想学好高等数学，至少要做到以下四点:

首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。

其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题。要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结----不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。

第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。
高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用．微积分的理论是由牛顿和莱布尼茨完成的．（当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统）无穷小和极限的概念微积分的基本概念但理解有很大难度。

分类

一、函数极限连续
二、一元函数微分学
三、一元函数积分学
四、向量代数与空间解析几何
五、多元函数微分学
六、多元函数积分学
七、无穷级数
八、常微分方程

主要包括

一、函数与极限分为
常量与变量
函数
函数的简单性态
反函数
初等函数
数列的极限
函数的极限
无穷大量与无穷小量
无穷小量的比较
函数连续性
连续函数的性质及初等函数函数连续性
二、导数与微分
导数的概念
函数的和、差求导法则
函数的积、商求导法则
复合函数求导法则
反函数求导法则
高阶导数
隐函数及其求导法则
函数的微分
三、导数的应用
微分中值定理
未定式问题
函数单调性的判定法
函数的极值及其求法
函数的最大、最小值及其应用
曲线的凹向与拐点
四、不定积分
不定积分的概念及性质
求不定积分的方法
几种特殊函数的积分举例
五、定积分及其应用
定积分的概念
微积分的积分公式
定积分的换元法与分部积分法
广义积分
六、空间解析几何
空间直角坐标系
方向余弦与方向数
平面与空间直线
曲面与空间曲线
七、多元函数的微分学
多元函数概念
二元函数极限及其连续性
偏导数
全微分
多元复合函数的求导法
多元函数的极值
八、多元函数积分学
二重积分的概念及性质
二重积分的计算法
三重积分的概念及其计算法
九、常微分方程
微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程及齐次方程
线性微分方程
可降阶的高阶方程
线性微分方程解的结构
二阶常系数齐次线性方程的解法
二阶常系数非齐次线性方程的解法
十、无穷级数

导数的概念

有关导数
在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，y=f(x)，求质点在t0的瞬时速度？

我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量

这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为;

若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，
即：质点在t0时的瞬时速度=

为此就产生了导数的定义，如下：
导数的定义
设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地
函数有增量

若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f(x)在x0处的导数。
记为：

还可记为：

函数f(x)在点x0处存在导数简称函数f(x)在点x0处可导，否则不可导。
若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数f(x)在区间(a,b)内可导。这时函数y=f(x)对于区
间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，
我们就称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数。
注：导数也就是差商的极限

左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限

存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的左导数。
若极限

存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的右导数。
注：函数y=f(x)在x0处的左右导数存在且相等是函数y=f(x)在x0处的可导的充分必要条件

相关词条

 物理学、导数、微积分、函数、不定积分、极限

参考资料

1.[俄]斯米尔诺夫著《高等数学教程》1-5卷高等教育出版社。
2.[美]M.克莱因:《古今数学思想》1-4册，上海科学技术出版社。
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